Sziasztok kedves tudosok!


Sapi Zoltan tett fel kerdeseket valoszinusegszamitassal kapcsolatban a
TUDOMANY#129-ben. Eloszor is be kell vallanom, hogy nem vagyok se matematikus,
se a valoszinusegszamitasban tulsagosan jaratos. Azonban kombinatorikaval
tobbet foglalkoztam, es azt hiszem, hogy ezekhez az elemi valoszinusegszamitasi
kerdesekhez a kombinatorika sok segitseget nyujt.
A feladat a kovetkezo volt:

> Egy dobozban N db szamozott golyo van. A golyok kozul talalomra valasztunk
> egyet, feljegyezzuk a sorszamat, majd visszadobjuk. Ezt K-szor megismeteljuk.
> Mennyi a valoszinusege annak, hogy K kiserletre (K >= N) mar mindegyik golyo
> legalabb egyszer elofordul a K hosszusagu sorozatban. Erdekelne meg K varhato
> erteke es szorasa is. (ha egyaltalan van)

Nevezzuk elemi esemenynek egy teljes kiserlet veghezvitelet, mialatt mind a K
golyot visszatevessel kihuztuk. Az osszes esemenyek szama ekkor N^K. Nevezzuk
kedvezo esemenynek amikor a kihuzott golyok kozott mind az N megtalalhato.
Az kedvezo esemenyek szamanak kiszamitasahoz osszuk el a K szamu (sorszamozott)
huzast N osztalyba. Ezen osztalyba sorolasok szamat a kombinatorikabol ismert
masodfaju Stirling-szamok adjak meg. Jelolesuk S(K,N). Kiszamitasukra ismeretes
a kovetkezo osszefugges:

 S(K,N)=(1/N!)*\Sum_{j=0}^N (-1)^{N-j}*{N \choose j}*j^K.

Ahol {N \choose j} jelenti az N alatt a j-t azaz ahanyfelekeppen N elembol j-t
ki lehet valasztani, ha a kivalasztas sorrendje nem szamit. A \Sum_{j=0}^N a
szumma j = 0-tol N-ig jelolesere szolgal. Egy ilyen osztalyozashoz N!-
felekeppen rendelhetok hozza a kihuzott golyok aszerint, hogy melyik golyohoz
melyik osztaly tartozik. A kedvezo es az osszes esemeny hanyadosa pedig a
kivant valoszinuseget adja ami tehat = N!*S(K,N)/N^K.

> Most a kiserlet ua., mint fent, de a kerdes ugy szol, hogy mennyi annak a
> valoszinusege, hogy a K hosszusagu blokk R db kulonbozo elembol all, ahol
> R <= N. Tehat itt mar 3 valtozoval kell szamolni.

A kedvezo esemenyek szamanak meghatarozasahoz itt R osztalyba kell sorolni a K
szamu (sorszamozott) huzast. Ezek szama S(K,R). Ezekhez az osztalyokhoz 
N!/(N-R)!-felekeppen rendelhetok hozza a kihuzott golyok. Tehat a kedvezo ese-
menyek szama ebben az esetben S(K,R)*N!/(N-R)!.

> Fenti kiserletet modositjuk ugy, hogy egyszerre tobb elemet is valaszthatunk.
> A kerdes hasonlo, mint a masodik esetben csak egy picit modosul (egy
> valtozoval bovul)
>
> Mennyi annak a vsz-e, hogy N elembol egyszerre S darabot kivalasztva
>                            K kiserlet soran az N elem kozul osszesen
>                            R kulonbozo elem kerul elo.
>
> Van-e ennek varhato erteke es szorasa?

Az elemi esemeny ebben az esetben legyen N elembol S elem K-szori, visszateves-
sel valo kihuzasa. Ekkor az osszes esemenyek szama {N \choose S}^K. A kedvezo
esetek szamara a masodfaju Stirling szamokhoz hasonlo explicit megoldast nem
ismerek. Van azonban egy rekurziv osszefugges, aminek nyoman el lehetne indul-
ni. Jeloljuk X(K,R)-rel a kedvezo esetek szamat mint K es R fuggvenyet. Ekkor
igaz a kovetkezo osszefugges:

 X(K,R)=\Sum_{j=0}^{\min(S,R)} {R-j \choose S-j}*{N-(R-j) \choose j}*X(K-1,R-j)
 .

Ezen rekurzio azon alapszik, hogy a K-ik huzaskor j szamu olyan golyot huzok
amit eddig meg nem huztam. Ekkor a K-1 huzas soran R-j kulonbozo golyo kerult
elo. A meg nem huzott N-(R-j) golyobol ezutan kivalasztva a j szamu ujat, majd
ettol fuggetlenul az R-j regi golyobol kivalasztva a tovabbi szukseges S-j-t
kapjuk a szummazando mennyiseget.


Udvozlettel

Jordan Arpad

Ui. Sapi Zoltannak: A varhato ertekkel es a szorassal kapcsolatban kicsit
pontositani kellene a kerdesedet, mivel a feladat megfogalmazasaban K nem
veletlen (valoszinusegi) valtozo, amely hol ezt, hol azt az erteket veheti fel
valamilyen eloszlassal, es igy szamithato lenne a varhato erteke es szorasa,
hanem a huzasok (kiserletek) szamat jelolo adott szam.

Szevasztok!

A vilagegyetem tagulasaval kapcsolatban a feny Doppler effektusan
gondolkodtam.
Azt ertem, hogy hang eseteben, mondjuk ha egy vonat futyul es kozeledik
hozzam akkor: 

c- a hang sebessege
l- a hullamhossz
v- a vonat sebessege
f- a frekvencia

A kurt allando frekvencian ad. Az en altalam eszlelt hullamhossz:

l=(c-v)/f

tehat az en szemszogombol, csokkent a hullamhossz, tehat nott a
frekvencia, ezert magasabbnak hallom.
Ugy is mondhatnam, hogy a hang a hang sebbesege+a vonat sebessegevel
kozeledik hozzam.

De tudjuk azt, hogy a feny sebessege minden inerciarendszerben allando,
ez a spec.relativitas elmeletenek alapja.
Akkor hogy van az hogy a feny szinkepe eltolodik?
Lehet hogyha relativisztikusan vegiggondolnam akkor ok lenne, de ahhoz
lusta vagyok.

Bende

Hello,

Egy, a nedves homok tulajdonsagairol irt, cikkunk jelent meg  a
Nature-ban. 

Web-oldalt is szerkesztettunk hozza. Ha valakit erdekel, ime a cime:

http://www.nd.edu/~granular

csak jot,

i.a.

Udv!

Meghato' az a szere'ny e's bizalmat elo"legzo" meg-
ko:zelite's, ahogy a te'nyleges tudoma'nyokra kondi-
ciona'lt fizikus a 'ko:zgazdasa'gtudoma'ny' dolgai-
val foglalkozik. A ta'rggyal kapcsolatos ke'telyeknek
ilyen jo'indulatu' e's finom megfogalmaza'sa'val re'g
nem tala'lkoztam. Valahogy eszembe villant hajdani ta-
nulma'nyaim sora'n megragadt gondolata Simonyi Ka'roly-
nak (a fizika'ro'l,  nem szo' szerint) : ...aze'rt sze'p,
mert IGAZ.....(o:ru:lne'k, ha valaki pontosabban tudna'
ide'zni)  Ezt a ko:gazdasa'gtudoma'nyra is e'rteni mo'd-
felett nagy ba'torsa'gra vallana. (tu'l sok va'ltozo',
tu'l sok 'elhanyagola's', tu'l sok tudo's...)

> ...Nem kritizalni szeretnek, csak megosztani benyomasaimat,
> es varni a reakciora hozzaertoktol:

Bocsa'nat, e'n sem vagyok hozza'e'rto". Aki viszont annak
vallja maga't, annak u'gysem hiszek..8:-)))


> Nagyon ingovanyos talajra talajra szeretnek evezni, ezert kerek mindenkit,

Stimmt. Aki ingova'nyos  t a l a j o n  evez, az ko:zgazdasa'gtudo's.

                          Bocs:HFeri

P.S.: Fe'lree'rte's ne esse'k: A fizikusokat tisztelem. Ba'r  o"k  mu"-
   velne'k a ko:zgazdasa'gtudoma'nyt is!