Kosarlabdas feladat + folytatas:

Amint azt tobben megirtak, a 80 szazalekos feladat kulcsa az, hogy 
egy rossz dobast pontosan 4 (vagyis egesz szamu) jo dobassal lehet
jovatenni. Eleg z=jo-4*rossz-t szamolni: hogy bedobjuk az plusz 1, 
ha mellemegy az minusz 4. Ha z pozitiv akkor 80 szazalek felett 
vagyunk, ha negativ akkor alatta, ha z=0 akkor pont 80 szazalekon.
Megyunk a szamegyenesen: egyet-egyet elore idonkent negyet hatra. 
Felfele egyesevel megyunk, nem ugorhatjuk at a nullat. 

SB:
> A 80% helyett szerepelhetett volna pl. 90%, vagy barmilyen pozitiv 
> egesz n-re 100-100/n %, vagy 100/n %.

Pontosan. Egy apro elirastol eltekintve: a 100/n szazalekot *lefele* 
nem lehet atugrani, felfele igen. 

Akkor most jojjon a feladat B valtozata, ami mar kicsit nehezebb. De
most nem csapom be Balazst, ennek van megoldasa csinos vegeredmennyel. 

B Feladat: B kosarra dobal. Bedobja az elsot, elrontja a masodikat. 
Innentol kezdve a jo dobas valoszinuseget az addig jok reszaranya adja 
(ha n dobasbol k ment be, akkor az (n+1)-dik dobasnal a jo eselye k/n). 
Mi a valoszinusege annak, hogy az elso 100 dobasbol pontosan 50 jo es 
50 rossz lesz ? 

 ...

Zoli: 
ha a tegnapi irasom vege egy kicsit erthetetlen, az azert (is) van,
mert sikerult egy vagy ket sort elvesztenem -- de most mar maradjon 
annyiban, es legyen orok rejtely, hogy mi akart lenni...:)

udv, kota jozsef

> az alábbiakat írta a következő
hírüzenetben: ...
>
> Ennek a nem-diszkret valtozataval talalkozom gyakran. De a valasz
> nyilvan ugyanaz k/n illetve (n-k)/n a gyozelem-vereseg eselye.

Igen. A nem-diszkret valtozattal gondolom a fizikaban talalkozni. Azt hiszem
amiket az alabbiakban irok, mar tanultam valamikor, de jol esik ujra
felfedezni ugyhogy leirom oket, meg hatha erdekel valakit. A 0 es 0'
feladatokat igazabol csak a tukros feladatok elozmenyekent raktam be,
amikkel viszont nem talalkoztam, es szerintem jopofa. (foleg az, hogy a
tukrok sorrendje lenyegtelen)

> > (Segitseg: mi a valoszinusege hogy gyoz, ha n-1-rol indul?)
>
> Csak azon tunodom, hogy ez miert segit. Hacsak nem agyafurt megoldasra
> gondolsz  :)

Legyen p(n) a gyozelem valoszinusege ha 1-bol indul, valamint q(n), ha
n-1-bol indul. Fogalmazzunk at ket dolgot pongyolan:

"1-bol indulva veszit" = 1-p(n) = "maximum n-2-ot lep jobbra,
vegul a kiindulasi helytol eggyel balra erkezik."
"n-1-bol indulva gyoz" = q(n) = "maximum n-2-ot lep balra,
vegul a kiindulasi helytol eggyel jobbra erkezik."

Lathato, hogy a ket esemeny majdnem ugyanaz, csak az iranyok vannak
felcserelve. Ezert q(n)=1-p(n).

Annak valoszinusege hogy 1-bol indulva gyoz, megegyezik azzal, hogy
1-bol eljut n-1-be, aztan n-1-bol gyoz. Vagyis: p(n)=p(n-1)*(1-p(n)),
rendezve: 1/p(n)=1+1/p(n-1).
Nyilvan p(1)=1, p(2)=1/2. Tegyuk fel, hogy p(n)=1/n, amirol azonnal
lathatjuk, hogy teljesul ra a kezdeti es a rekurziv feltetel is.

p(n)=1/n ismereteben mar konnyen megoldhato a 0' feladat. Legyen
p(n,k) annak valoszinusege, hogy k-bol indulva gyoz. Az az esemeny,
hogy 1-bol eljutunk n-be, megegyezik azzal, hogy 1-bol eljutunk k-ba, aztan
k-bol gyozunk. Vagyis: p(n)=p(k)*p(n,k), p(n,k)=p(n)/p(k)=k/n.

A fonti ket feltetel kombinaciojaval kozvetlenul is megkaphatjuk p(n,k)-t:
Keressuk azt a p(x,y) fuggveny, melyre teljesul, hogy
(1)    p(x,1)=p(y,1)*p(x,y)        (2)    p(x,x-y)=1-p(x,y)
Legyen f(x)=1/p(x,1), z=x-y. Behelyettesitve:
(1')    p(x,y)=f(y)/f(x)            (2')    p(x,z)=1-p(x,y)=1-f(y)/f(x)
                                       (1') ==> p(x,z)=f(z)/f(x)
1-f(y)/f(x)=f(z)/f(x)  ==>   f(x)=f(z)+f(y)   ==>   f(z+y)=f(z)+f(y).
Legyen c=f(1). Ekkor f(x)=c*x, tehat p(x,y)=f(y)/f(x)=(c*y)/(c*x)=y/x

Folytonos valtozatban minden ugyanaz, kijon hogy f additiv, es f
folytonossagabol (amit elvarunk tole) kovetkezik, hogy c*x alaku.

SB