Kedves Matyas!
Azt irod, a matematika nem irodalom, es nem kolteszet, ami igaz is, de a
hasonlosag megis olyan nagy, hogy arrol kulon szolni kell.
A kovetkezo G. H. Hardy idezet Filep Laszlo: A tudomanyok kiralynoje cimu
konyvenek hatso boritolapjan talalhato.
"A matematikus - mikent a festo - mintakat alkot. Ha ezek idotalloak, annak
oka, hogy gondolatokbol allnak.
A matematikusok mintainak, mikent a festo es a kolto munkainak, szepeknek
kell lenniuk. A gondolatoknak, mikent a szineknek vagy a szavaknak,
harmonikusan kell egymashoz illeszkedniuk. A szepseg az elso kriterium: a
csunya matematikanak nincs tartos helye a vilagon."
Ehhez hozza lehet tenni, hogy mikent a festo eszkoze az ecset, a festek, a
kolto eszkoze a nyelv, ugy a matematikus eszkozei a nyelv, a szimbolumok,
az axiomak, tetelek es a formalizmus. Ezekel az eszkozokel lehet abrazolni
a festeszet, kolteszet, vagy matematika targyait, temait, mintait, amelyek
termeszetszeruleg nem azonosak a kifejezo eszkozokkel. A muveszetek az
egesz vilaggal, vagy annak tetszoleges reszeivel kapcsolatos erzesek
kifejezesere szolgalnak. A matematika temaja ennel sokkal szukebb, csak a
vilagban fellelheto formak termeszetet vizsgalja. Mint minden muveszetnek,
ugy a matematikanak is resze a sajat formai kifejezo eszkozeivel valo
jatszadozas, a kifejezesi eszkozok sajat szepsegenek fitogtatasa. Azonban
ezeket a reszeket sohasem szabad osszeteveszteni az egesszel, mivel ekkor
eppen a lenyeget vesztjuk szem elol.
Pontosan ez a lenyegi feladat-, es celvesztes tortenik, amikor a
matematikat egyetlen ideiglenes, es tokeletlenul megalkotott axiomatikus
rendszerbe probalod beszoritani. Az evezredek alatt felhalmozodott
sokszinu, es valtozatos tapasztalatokat nem lehet belegyomoszolni egy olyan
minden szemleltetest, es szepseget nelkulozo formalizmusba, amely onmagaval
sem tud osszhangba kerulni. Ez eppen olyan keptelenseg, mintha a
festeszetben kotelezove tenned a kubizmust, vagy a kolteszetben kotelezove
tenned az "e" maganhangzok kizarolagos hasznalatat, mondvan, hogy ezekkel
is minden kifejezheto. De ezek eppen azok a kirivo reszmufaji sajatosagok
esetei, amikor a format fontossabba tesszuk a tartalomnal egy formai
jatszadozas kedveert. Sulyos hiba ezen eseteket altalanositani az egeszre.
> Legeloszor is osszekevered a feladatmegoldas kontextusat es a
> tetelbizonyitas kontextusat. Az elmeleti matematika meghatarozo jelleget
> nem az a cel adja, hogy "valamifelekeppen oldjunkmeg feladatokat", hanem
> az, hogy "egyertelmu igazsagokra jussunk". Az alkalmazott matematika es
> a kozepiskolas matematika valoban inkabb arra koncentral, hogy
> valamikeppen oldjunk meg feladatokat, es a megoldas egyertelmu
> helyesseget itt a tanarok, a konyveket irok magasan kepzett hattere,
> mint autoritas biralja el. azonban ez sem volna lehetseges, ha ez a
> magas kepzes olyan intuitiv szemleleten alapulna, mint amit te
> preferalsz, es nem egzakt axiomatikussagon.
Az Euklideszt megelozo idokben a matematika (egyiptomi, mezopotamiai,
gorog) leginkabb receptekbol, vagyis konkret feledatmegoldasok leirasanak
gyujtemenyebol allt. Az elso bizonyitasok (Talesz, Pitagorasz) is kizarolag
szemleletes abrazolasokban valo reszletezest jelentettek. Es termeszetesen
ma is ugyanezt a sorrendet koveti az oktatas. A kezenfeko, es valosagos
matematikai osszefuggesek (pl. szorzotabla) fontosabbak, mint az
absztrakciok sorozataval terhelt elvont axiomak. A feladatok megoldasainak
sokszor nagyobb a prioritasa, mint a feladatok megfogalmazasanak, mivel
eppen a valosagos eredmenyek kenyszeritik ki a feladat korulirasanak
absztrakcioit, illetve egy magasabb absztrakcios szinten a matematikai
megalapozast. Ez a teny minden masnal meggyozobben mutatja a matematika
lenyegenek, es alkotoreszeinek prioritasat. Az alkalmazott matematika
fontossagat sem lehet elegge hangsulyozni. Ma mar nem kis reszben a
szamitogepek elterjedesenek koszonhetoen a maganelet, a tarsadalmi elet, es
a tudomanyok minden teruletere is betort a matematika szeleskoru
alkalmazasa. A technikai fejlodes felgyorsulasaval gombamod szaporodnak
azok a problemak, amelyek megoldasa komoly kihivas a mernokok, es a
matematika szamara is. A eletben sokszor eredmenyes gyakorlati megoldasok
szuletnek annelkul, hogy matematikai szamitasok allnanak rendelkezesre. Az
ilyen technologiai megoldasok a matematika szamra is kepesek iranyt
mutatni. A valosagos vilag tehat mind a matematikai kutatasok iranyanak
meghatarozasat, mind pedig a problemak megoldasat is nagymertekben
segitheti. Es a valosag es a matematika kotodese egyre erosodik a
technologiai fejlodessel. Ez csak azert nem feltuno, mert a matematika is
rohamlepesekkel fejlodik kozben.
Ezeknek a fenyeben tisztan latszik, hogy az axiomatikus formalizmus csupan
az egyik legujabb, de nem az egyetlen eszkoze a matematikai igazsagok
megfogalmazasanak. Az axiomak puszta kiszolgaloi, nem pedig meghatarozoi a
matematikanak. Illetve meghatarozoi lehetnek akkor, ha tokeletlenek, ha
hibasak, es fontossaguk tekinteteben tuldimenzionaltak, de ilyenkor ez egy
olyan eletkeptelen betegseg, amely elkorcsositja a matematikat, es eppen
ezen korcsosito hatasa teszi meghatarozova. Egy ilyen torzult rendszer
legfeljebb csak egy vetuletet kepes abrazolni a matematikanak, es ha ezt
tevesen az egesznek veljuk, akkor menthetetlenul elveszitjuk a korabban
megszerzett szemleletes, esintuitiv tudas jo reszet, es a kepesseget is,
hogy ezeket ujra birtokolni tudjuk.
>>Az axiomatizmus kulonfele nezeteket vallo
>>hivei peldaul allandoan vitatkoznak arrol, hogy a halmazelmelet
>>kivalasztasi axiomajat mikor tekintsek ervenyesnek, vagy mikor nem, de
>>azt a kerdest sohasem teszik fel maguknak, hogy miert fontos ez a kerdes
>>egyaltalaban, ha az axiomak megvalasztasaban teljes szabadsagot
>>elveznek.
>Mindket axiomarendszer teljes jogu tagja az elmeleti matematikanak. Azt
>lehet vizsgalni, hogy melyikben milyen tetelek lesznek igazak.
>Alkalmazottmatematikai szempontbol lehet azegyik rendszer jelentosebb,
>mint a masik. De elmeletimatematika szempontjabol mindketto egyenerteku.
Elsiklottal a gondolat lenyege mellett. A halmazelmeleti axiomakat,
akarcsak a logikaiakat, egeszen konkret cellal alkottak meg. Ezen
axiomakkal kivantak az egesz matematika szamara egyertelmu axiomatikus
megalapozasat adni. Ennek tobbe-kevesbe sikerult reszeredmenyeibe a
matematika minden teruleten belebotlunk. Azonban ez a probalkozas ezeddig
sulyos, es megsemmisito kudarca fulladt, mivel nem sikerult egy egyertelmu
axiomarendszert megfogalmazni, hanem csak ket alternativ felig mukodo
rendszert, amelybol mindig azt rangatjuk elo, amely eppen megfelel egy
adott bizonyitas alapjaul. Igy az egyertelmuseg helyebe a kaosz lepett, es
emiatt nem lehet a halmazelmeletre alapozni a matematikat. Azon velemenyed,
miszerint az elmeleti matematikaban csak a konzisztencia es
redundanciamentesseg lehet az axiomakkal szembeni kovetelmeny, csupan
elkendozi a rideg valosagot, es erzekletesen mutatja, hogyan valsz
aldozatta egy reszigazsag csapdajaban. Ez a csapdahelyzet egyenes
kovetkezmenye az intuiciokat lebecsulo linearis lokalis bizonyitasi
lancokra epulo celja vesztett gondolkodasnak, amely mar onigazolasra sem
kepes. Eszre kell venni, hogy amit leirtam, es amit akar a matematikarol
valo filozofalgatasnak lehetne nevezni, eppen ugy resze a matematikanak,
mint barmely matematikai kifejezes, de ezeket a gondolatokat nem lehet
formalizalni.
>>Intuicio nelkul nem sok eselye van barkinek is arra, hogy ertelmezzen
>>olyan gondolatokat, amilyennel meg soha sehol nem talalkozhatott, meg
>>ha a kenyes, es tarthatatlan pontok formaslisan megfeleloen vannak is
>>korulirva.
>Ezek szerint ha valaki meg nem talalkozott a valos test fogalmaval, akkor
>intuicio nelkul nem ertheti meg azt? Ennekem ez erdekes modon sikerult.
Nehez elhinnem, hogy ne talalkoztal volna elotte a szemleletes tavolsag
absztrakt fogalmaval. Marpedig a valos szamtest ennek tovabbi
absztrakciojat jelenti, igy aki a tavolsagot megszokta, az valamilyen
szinten rendelkezik is erre vonatkozo intuicioval.
>>De ez az ember azt is latni fogja, hogy mennyire
>>kilatastalan bizonyitasokat gyartani egy alkalmatlan axiomarendszerben.
>Akkor megfelelo axiomarendszert adjalmeg, ezt mondom regota! ha visoznt
>egyaltalansemmitnem tudsz bionyitani, akkor azt kerlek ugyanne nevzed
>matematikanak, az hitterites.
Leirtam korabban, milyen nehezsegekkel kell szembeneznem, de azt is
vilagosan leirtam, hogy nincs szukseg az uj axiomarendszerre ahhoz, hogy a
regi elegtelenseget belassuk. Mindenesetre ezek az elegtelensegek adnak
tappontot ahhoz, hogy az uj rendszerben milyen ujitasokra lesz szukseg.
Az elso halmaztipusba sorolt veges szamossagu halmazok, es a veluk
kapcsolatos fogalmak, es muveletek adjak a halmazelmelet ismeros
szemleletes bazisat. Ezek azok az ismeretek, amelyeket mindig egzakt modon
szemleltetni tudunk. A halmazok elemei halmazelmeleti szempontbol egymastol
fuggetlen objektumok.
A masodik halmaztipusba a megszamlalhatoan vegtelennek nevezett sorozatok
tartoznak, amelyeknek legfobb reprezentansa a termeszetes szamok sorozata,
minden mas sorozat ebbol szarmaztathato, ezzel ekvivalens. A sorozat
fogalma nem felel meg a szemleletes halmazfogalomnak, mivel a sorozat
tagjain ertelmezve van egy aritmetikai struktura, amit a rakovetkezes
muvelete general. Az aritmetikai stuktura miatt a sorozat tagjai nem
tekinthetok egymastol fuggetlen objektumoknak, es nem is hasznalhatok
korlatozas nelkul azok a halmazmuveletek, amelyek a veges halmazok eseteben
hasznalhatoak. Peldaul a sorozatnak nincs utolso eleme, es nem lehet
hivatkozni a sorozat minden elemenek a halmazara, mivel a sorozat nem egy
befejezett, vagy zart halmaz, hanem egy nyilt halmaz. Ezen tulajdonsag
miatt a matematikai logika modositasa is szuksegesse valik. A matematikaban
eddig a "minden" kvantort altalanos erteleben hasznaltuk a "tetszoleges",
vagy "barmely" fogalmak szinonimajakent, azonban ez az azonositas implicit
egy olyan allitast is magaba rejt, amely a tovabbiakban nem tarthato fenn.
Ha nem letezik a minden elemre hivatkozas a sorozatok eseteben, akkor nem
hasznalhatjuk a "minden" kvantort. Termeszetesen hivatkozhatunk a sorozat
"tetszoleges", vagy "barmely" tagjara, de ezt a hivatkozast a felreertes,
es a keveredes megszuntetese vegett meg kell kulonboztetni a "minden"
elemre hivatkozastol. A rakovetkezessel generalt aritmetikai strukturanak
mas jol meghatarozott, ismert aritmetikai tulajdonsagai is vannak, amellyel
minden sorozat rendelkezik, de amelyek taglalasara most nem terek ki.
Amennyiben megis hivatkozunk egy sorozat minden elemere, ugy a harmadik
halmaztipusba tartozo megszamlalhatatlanul vegtelen szamossagu halmazra
hivatkozunk, ugyanis a sorozat minden elemere hivatkozas egy
hatarertekkepzesi muveletnek felel meg, amely muvelet egy harmadik tipusu
halmazt general. Ez ujbol egy zart halmaz, akarcsak a veges halmazok.
Azonban a bevezeto sorozat aritmetikai muveletei nem ertelmezettek a
hataretekkepzes eredmenyekeppen letrejott vegtelen indexu tagokra, ezert is
megszamlalhatatlan a halmaz. Azonban a harmadik tipusu halmazok
ekvivalansek egy folytonos intervallummal, amelyen szinten ertelmezheto
aritmetikai struktura, de ez szinten alkalmatlan a megszamlalasra.
Specialis esetben, konvergens sorozatok hatarertekeinel az osszes vegtelen
idexu elem egy es ugyanaz, igy sem a szamossagi problemaval, sem az
aritmetikai nehezsegekkel nem kerulunk szembe. Azonban ebben az esetben is
harmadik tipusu halmaz a hatarertekkepzes eredenye.
Udv: Takacs Feri
|
