Kedves Matyas!

Termeszetesen a matematika nagyon sokat koszonhet annak, hogy Euklidesz
megalkotott egy olyan linearisan bejarhato logikai vazat, amelyen el lehet
jutni barmely geometriai allitashoz. De a geometria nem ez a vaz, hanem egy
komplex gondolkodasi rendszer, amelynek a logikai vaz csupan egy specialis
vetulete. Az egyes allitasok onmagukban ertelmetlenek, csak attol kapnak
ertelmet, hogy egy egyseges egybefuggo rendszer reszeit kepezik. Csak az
osszes allitas egyuttesenek harmoniaja adja meg az egyes allitasok
ertelmet. Az elemi, es kozepiskolai tanulmanyok arra iranyulnak, hogy ezzel
a komplex rendszerrel megismerkedjunk, es beepitsuk gondolkodasunkba,
szemleletunkbe. Ha ez megfeleloen sikerult, akkor a matematikai kerdesek,
es problemak nem elkulonult logikai bizonyitasi lanc elemeikent
jelentkeznek, hanem a teljes komplex rendszerben torteno ertelmezesi,
illetve beilleszthetosegi feladatkent. Ezt a komplex rendszert nevezhetjuk
egyfajta intuitiv szemleletnek is, de nevezhetjuk egy intelligens
feladatmegoldo gepnek is, amelyet az agyunkba rejtettunk. Ez a gep a
bemenetkent kapott feladatot ertelmezi, ha eretelmezheto, majd megoldja. Az
eredmeny megoldasa vagy kozvetlenul adodik, vagy egy ismert algoritmus
szerint tobb-kevesebb munkaval kiszamolhato. Az agy nincs kenyszeritve
arra, hogy linerisan vegye vegig az ismert teteleket, hanem kepes a komplex
gondolkodasi rendszeret egyszerre minden reszleteben megmozgatni. A feladat
kituzes akkor helyes, ha a feladat ertelmezheto. A komplex rendszerben
altalaban nincs szukseg bizonyitasra, mivel a feladat ertelmezhetosege,
megertese egyben a feladat helyessegenek bizonysaga is. Ennek a kompex
rendszernek a kiepitese az emberi gondolkodas fokozatos kibovitesevel, es
treningeztetesevel erheto el, es ez a fokozatossag nem illeszkedik
semmifele axiomatikus rendszerhez. Ez eppen ugy vonatkozik az egyen
matematikai gondolkodasanak kifejlesztesere, mint az emberiseg matamatikai
fejlodesere is. A fokozatokat az emberi elme fejlodesi allapotai hatarozzak
meg, es nem a matematikai logika. Euklidesz kitalalta az axiomatizmust, de
nem talalta ki a matematikat. Rogzitette, es egy logikusan felepitett
rendszerbe foglalta a matematikai ismereteket, amelyet az emberiseg elotte
felhalmozott. Termeszetesen ezzel onmagaban is hatalmas lepessel mozditotta
elore a matematika fejlodeset, mivel az altala felepitett logikai vaz
menten, sot azokon tul is sokkal reszletesebben vizsgalhatova valt a
matematika. Es ahogyan fejlodott a matematika, ugy bovult a matematikai
szemleletunk komplexitasa is, es az axiomatikus logikai vaza is. A
nagymerteku komplexitas befogadhatosaga egyentol fuggoen kulonbozoen, de
minden esetben korlatozott. Mara mar valoszinuleg nincs olyan ember, aki
kepes lenne minden matematikai ismeretet naprakeszen a fejeben tartani, igy
az egyenek matematikai gondolkodasa az egyeni kepessegeken tulmenoen is
kulonbozo fele keppen specializaltak a matematika kulonbozo
szakteruleteinek megfeleloen. Ebben a helyzetben a matematikai szemlelet
fontossaga leertekelodott, mivel a teljes matematikai rendszer
gyakorlatilag mar nem lathato at a maga komplexitasaban. Ekozben az
axiomatizmusra epito linearis logikai lancolatokban valo gondolkodas
szerepe, es uniformalizalasanak igenye megnott, mivel ezt a lokalis
bejarhatosagot latszolag nem zavarja az egesz rendszer novekvo
komplexitasa. A fejlodes eme valtozasa szuksegszeru, azonban egy alattomos
csapdat rejt magaban, mivel azt hitette el az ujkori matematika
kitalaloival, hirdetoivel, es kovetoivel, hogy ez az axiomatizmus nem mas,
mint maga a matematika. Elhitette, hogy a korabban oly fontosnak tartott
matematikai szemlelet csalard modon becsapja az embert, es az axiomatizmus
hasznalata akkor is egyedul udvozito, ha eppen a hasunkra utve talaljuk ki
az axiomakat. Valojaban eppen ez az uj szemlelet valt egy onbecsapassa,
amely az hagyomanyos atfogo jellegu gondolkodast, es a hozza kapcsolodo
intuicionizmus teremto erejet szegyelni valo tokeletlensegge probalja
lealacsonyitani, es az embertol idegen szamitogepszeru monotonitasban
probalja megtalalni onon ertelmet, modszereit, es igazolasat. De az ilyen
ervelesek meglehetosen gyongek. Az axiomatizmus kulonfele nezeteket vallo
hivei peldaul allandoan vitatkoznak arrol, hogy a halmazelmelet
kivalasztasi axiomajat mikor tekintsek ervenyesnek, vagy mikor nem, de azt
a kerdest sohasem teszik fel maguknak, hogy miert fontos ez a kerdes
egyaltalaban, ha az axiomak megvalasztasaban teljes szabadsagot elveznek.
Pedig erre a kerdesre az a trivialis valasz, hogy az axiomak nem
valaszthatok meg tetszolegesen, tovabba az axiomakbol nem lehet
kovetkeztetni arra, hogy milyen axiomakra lenne szukseg. Az axiomakkal
szembeni elvarasok megfogalmazasara kizarolag a matematikai szemlelet, es
annak tortenelmi fejlodesenek ismereteben lehet vallalkozni, mivel az
axiomatizmus altalaban a meglevo hagyomanyos ismeretek teljeskoru
megfogalmazasara sem kepes, jolehet ennek a feladatnak leginkabb megfelelo
axiomarendszer az optimalis.

Az en felfedezesem a hagyomanyos matematikai szemlelet tekinteteben is
valtozast jelent. Igy a hagyomanyos szemleletet tobbe-kevesbe tukrozni
hivatott axiomatikus formalizmus keptelen az eredmenyeim megfogalmazasara,
csak megkozeliteni lehet azokat a pontokat, ahol ez a keptelenseg fellep.
Intuicio nelkul nem sok eselye van barkinek is arra, hogy ertelmezzen olyan
gondolatokat, amilyennel meg soha sehol nem talalkozhatott, meg ha a
kenyes, es tarthatatlan pontok formaslisan megfeleloen vannak is korulirva.
A jelenlegi halmazelmelet egyetlen halmaz-fogalmat probal uniformalizalni,
persze sikertelenul, es ezert vannak gondok az axiomaival. Azonban harom
kulonbozo halmaz-fogalomra van szukseg, amelynek kulon-kulon tobbe-kevesbe
fuggetlen axiomarendszerre van szuksege. Az elso halmaztipus a veges szamu
elemet tartalmazo zart halmazok. A masodik tipus a megszamlalhatoan
vegtelen sorozatokat alkoto elemek nyilt strukturaja, amelyrol mar jo ideje
allitom, hogy nem lehet minden tekintetben halmazkent kezelni ezeket. A
harmadik tipus a vegtelen sorozatokat, valamint azok hatarerteket is
tartalmazo megszamlalhatatlan szamossagu zart halmazok. Feltetelezem, hogy
e harom tipus jelenteset illetoen sokan eljutnak a megertesemben, meg ha az
okokat nem is latjak. Ezekrol az okokrol mar januar ota folyamatosan
cikkezem, de aki nem kepes legalabb ideiglenesen az en uj szemleletmodom
szerint gondolkodni, annak szamara kinaiul is irhattam volna a cikkeket.
Aki kepes mas, vagy uj szemleletmodban is gondolkodni, annak nincs szuksege
arra, hogy ezt bizonyitsam, mivel szemleletmodot nem is lehet bizonyitani,
csak szemleltetni. De ez az ember azt is latni fogja, hogy mennyire
kilatastalan bizonyitasokat gyartani egy alkalmatlan axiomarendszerben.
Bizonyos dolgokat latni kell. Elmagyarazhatom a kulonfele nezopontokat, es
utalhatok a neznivalokra, de mindenki csak maga kepes megpillantani azokat
a matematikai strukturakat, amelyrol beszelek, illetve amik magukert
beszelnek, felteve, hogy eleg fejlett a komplex matematikai szemlelete, es
eleg rugalmas ahhoz, hogy uj szemleletmodban is tudjek gondolkodni.

Mas baj is van a halmazelmeleti axiomakkal. Ezek az axiomak ugyanis nem
reszei az altalanos matematikai szemleletnek. Az alapveto
halmazmuveleteket, es halmazelmeleti fogalmakat ugyan szeleskoruen, es
reszletesen tanitjak mindenhol, de ez szinte semmilyen oktatasi
intezmenyben nem egeszul ki axiomatikus megalapozassal, talan a specialis
magasszintu matematikai tagozatokat kiveve. Nekem ugyan van ket konyvem is,
amelyben joforman felsorolasszeruen benne van 11 halmazelmeleti axioma, de
magyarazat nincs hozzajuk, tartalmuk teljesen vegyes, es homalyos, igy nem
is tudom kitalalni, melyik mi celbol szuletett, mennyiben konzisztens, es
milyen melysegben szandekszik megalapozni mas matematikai teruleteket. Nem
tudom mas hogy van vele, de azt kell mondjam, ezek az axiomak nem leteznek
a matematikai szemleletmodom szamara, igy az en matematikai tudasom
tokeletesen fuggetlen ezektol. Ezert amikor azt kered tolem, hogy vezessem
vissza az allitasaimat ezekre, akkor mindannyiszor azt erzem, hogy a
hatamba szurkalnak eles pengeju kesekkel. Soha nem fogsz meggyozni arrol,
hogy az en matematikai tudasomnak barmi koze lehet ezekhez az axiomakhoz,
hiszen nem is ismerem oket. Es termeszetesen ettol meg tokeletesen biztos
alapokon all a matematikai tudasom, mert szorgalmas, es jo kepessegu tanulo
voltam, es mindig osszessegeben probaltam attekinteni a megszerzett
ismereteimet. Nem okozott tul nagy nehezseget nemregiben a termeszetes
szamok axiomainak megertese, es egyszersmint egyszerusitese sem. Mert hat
egy kifejlett matematikai erzek, es szemleletmod szamara az axiomak
olyanok, mint barmely mas uj elhatarolt szakterulet megismerese. Nem is
jelent sokkal tobbet ennel az egyebkent jol ismert alapok tovabbi
elmelyitese. Termeszetesen, ha lesz megfelelo konyvem, es idom, akkor
rogvest megismerkedem ezekkel az axiomakkal is jobban, es feltehetoleg
ujrafogalmazom oket, de ennek az eg vilagon semmi koze nincs ahhoz, amit
honapok ota magyarazok, meg ha Te abban remenykedsz is, hogy vagy megerted,
vagy megcafolsz ezen alig ismert terulet tisztazasa altal. Megjegyzem, hogy
Cantor, akinek a hatvanyhalmazok szamossagara vonatkozo bizonyitasa
egyaltalaban szuksegesse tette a halmazelmelet megemliteset, szinten nem
ismerhette ezeket az axiomakat, hiszen akkor meg nem is leteztek ezek.
Cantor elkepzelesei a halmazokrol majdnem annyira esetlegesek voltak, mint
ma az atlag muszakiake, es eppen ezert nem is csodalkozom, hogy nem  volt
kepes eszrevenni azokat az osszefuggeseket, amelyeket en feltartam.

Udv: Takacs Feri

Kedves z2!

> m(Qn) definialasaval folytatodnak a bajok, ugyanis Q3-ban ketfele
> "lepeskoz" is szerepel: 1/3, es 1/6. Hiba lenne m(Qi)-nek 1/j -t
tekinteni,
> mert ekkor d1(Qi,Hj) = 0 -bol Qi = Hj kovetkezne, ami nyilvan nem igaz,
> ha i>1, j pedig egy tetszoleges termeszetes szam.
> Ebbol kovetkezik, hogy a d2(x,y)-t metrikakent "megorizni" csak akkor
> lehet, ha eltekintunk a Qn-re, vagy Hn-re vonatkoztatasatol.

A Qn-ben maximalis lepeskozkent is definialhatjuk ezt a m(Qn) merteket,
amely termeszetesen akar Hn-re is hasznalhato, ahol egyformak a lepeskozok,
es persze ugyanugy 1/n-nek adodik.

> Erre egy naiv riposzt az, hogy Q[0,1] es R[0,1] is "egyenlo lepeskozu",
> csak a "lepeskoz"=0.

Nos, ha figyelembe veszed a
lim[ n -> inf ] Qn = lim[ n -> inf ] Hn = R[0,1]
definiciot, akkor megalapozottnak tunik a nulla lepeskoz, hiszen az 1/n
sorozat hatarerteke nulla. tehat
lim[ n->inf ] m(Qn) = 0 = m( R[0,1] ) = m( Q[0,1] )

> Mit is bizonyitottunk ? Azt bizonyitottuk be, hogy n minden hataron tuli
> novekedesevel a "felbontasok lepeskoze" (1/n) minden hataron tul
> kozeledik a nullahoz.
> Ez meg egy trivialisan igaz allitas.
> ---
> Ketlem hogy be lehetne bizonyitani, hogy tetszoleges {Qn} R[0,1]-beli
> racionalis szamok halmazaibol allo sorozat "R[0,1]-e valik".

De hiszen eppen most bizonyitottad be. Hogyan bizonyitsak en, ha mar
magadnak sem hiszel?

> Ehhez egy olyan metrika kene, amire d(lim {Qn}, R[0,1]) = 0 es
> d(lim {Qn}, Q[0,1]) != 0 egyszerre teljesul.

Raeroszakolod magadra azt a feltevest, hogy lim Qn kulonbozik R[0,1]-tol,
es ezert feltetelezel egy nem letezo metrikat, amelynek definialasat ezutan
joggal gondolod lehetetlennek. Valoban nincs ilyen metrika, es eppen azert
nincs, mert a ket halmaz egy, es ugyanaz. Egyszeruen csak be kellene latnod
a sajat levezetesed eredmenyenek kovetkezmenyeit. Csak ez szokatlan
szamodra, illetve a hagyomanyos szemleletmod szamara, igy nem eleg a jozan
esz, nemi batorsagot is gyujtened kell hozza.

> Ha ugyanis d(lim {Qn}, Q[0,1]) = 0, akkor d( Q[0,1], R[0,1] ) = 0
> alapjan, Q[0,1] = R[0,1] kovetkezne, ami nyilvanvaloan nem igaz.

Itt az altalad bebizonyitott allitas, amit nem egeszen nyilvanvaloan nem
akarsz figyelembe venni. Ez nevezik eloiteletnek?

> {Qn}-nek ezek szerint ugy kellene R[0,1]-hez konvergalnia, hogy kozben
> nem konvergalhat Q[0,1]-hez.
> Ez pedig kielegithetetlen feltetelnek tunik a szamomra.

Koszi. Jol feladtad a lecket az engem megcafolni vagyoknak.

Udv: Takacs Feri

Haho Mindenki,

Tud-e valaki egy jo refenciat az ezust fertotlenito hatasarol? Egy nem tul
regi osszefoglalo cikk - review - megtenne... 
Arra lennek kivancsi, hogy hasznalhato-e az ezust ivoviz fertotlenitesre, es
ha igen, hogyan.

Elore is kosz a segitseget,

Laszlo

Szia,

SCI = science, tudomany.
FI = fiction, kitalacio.

Az a film inkabb csak "fi" volt...

A konkret filmbeli jelenetet nem ismernem, igy csak annyit, hogy
a gravitacios mezo nem omlik ossze. A gravitaciot a bolygonak nem
az alakja, hanem a tomege kelti. A felrobbanas soran a tomeg nem
valtozik, legfeljebb kicsit szetszorodik.

Ha a beszegetok a szetszorodas hatosugaran belul vannak, akkor nem
is a gravitacios mezo hanem a repeszek miatt kell eltavolodni. Ha
ezen a tavolsagon kivul vannak, akkor semmit nem vesznek eszre a
robbanasbol, ugyanolyan, az egykori bolygo tomegkozeppontja fele
mutato tomegvonzast eszlelnek mint addig.

Udv///Laci

Kedves Gergo,

  Kerdezed mi ez:

> hogy sietnuk kell eltavolodni, mert a gravitacios mezo osszeomlik
> (gravity field is collapsing). 

  Osszefoglalva fenysebesseggel rohannak egy KO, azaz Kapitalis Ostobasag
fele az irok (kifejezes Sziriusz Kapitanytol).
  Egyreszt bolygo ugy magaban nem igazan csinal 'gravitacios osszeomlast',
mert annyira nevetsegesen kicsi a tomege, hogy meg a Fermi nyomas sem
kell elektronokra, hogy ne omoljon ossze. 
  Ha gonosz Vogonok megis csinalnak ad abszurdum egy fekete lyukat belole,
akkor sem tortenik semmi, ha az szereplok maradnak bolygo koruli palyan
(olyan tavolsagbol nem igazan jatszik az Alt. Rel.).
  Az egyetlen ami problemat okozhat, az az osszeomlaskor felszabadulo
gravitacios (helyzeti) energia, ami valamilyen formaban felszabadul.
Ez *lehet* veszelyes. Valoszinuleg ez sem, mert egy bolygo forog, impulzus
momentumot meg nehez vesziteni gyorsan, igy ha sikerulne is a bolygo
kozepebol fekete lyukat csinalni, a bolygo felzabalasa ezen lyuk altan
sokaig tartana.
  Ennek megfeleloen gravitacios hatas lenyegesen nem valtozik egy ilyen
osszeomlasnal, sugarzas erosodhet, de lassan.

Gyula

Gergo,
>Most neztem egy sci-fi filmet, amiben egy bolygo felrobbanasakor arrol
>beszeltek, hogy sietnuk kell eltavolodni, mert a gravitacios mezo
osszeomlik
>(gravity field is collapsing). Erdekel, hogy ez a jelenseg letezik-e, es ha
>igen, akkor egy rovid leirast szeretnek olvasni rola. URL is johet.
A gravitacios mezo osszeomlasa ketsegkivul letezik. Pld. leugrasz a
hokedlirol, amig szabadon esel, addig nincs szamodra gravitacios mezo.
:)))))))))
Ha az urhajotol tisztes tavolsagra szetrobban egy bolygo, akkor az a
gravitacios mezoben nem erezteti hatasat, mindaddig, amig a "repeszek"
tulnyomo tobbsege meg nem elozi az urhajot. Ha a bolygo anyaga egyazegyben
(nyugalmi) tomeg nelkuli reszecskekke alakul, akkor lehet egy hirtelen
gravitacios mezo csokkenes, de ettol nemigen kell felni, mert csak annyi
tortenik, megszunik az urhajora hato ero. Az urhajosok ezt eszre sem veszik,
azelott is sulytalansagot ereztek, azutan is azt fogjak erezni. Szamukra
akkor van gravitacio, ha bekapcsoljak a hajtomuveket, fuggetlenul a
kornyezetukben ervenyesulo tomeg eloszlastol.
Janos

Sziasztok !

Megint elkapott az ichlet. 
Eskudni mernek, hogy az isiben a periodikus fuggvenyek Fourier 
sorfejtesen tullepve a Fourier integralhoz ugy jutottunk el, hogy 
az aperiodikus fuggvenyeket olyan hataresetnek tekintettuk, ahol 
T a vegtelenhez tart, es ebben az esetben a fuggvenyek spektruma 
altalaban folytonos. 
Spektrum eseteben nem vetodik-e fel - ami a letramnal vitatott
volt - hogy a spektrumot kontinuum szamossagu, vagy megszamlalhato
vegtelen szamossagu pont rajzolja meg ?
Allithatnank-e aperiodikus fuggvenyek spektrumarol altalanossagban, 
hogy infinitezimalis alapfrekvenciarol es annak egesz szamu 
tobbszoroseirol szol ?
Spektrumok integralhatosagat ez nem veszelyeztetne ?

Udv: zoli

Van egy szalagkabeles esetem:
Vegyunk jo hosszu keteru szalagkabelt kint az urben,
melyet majdnem teljes korre' formalunk, es a huzalok vegei koze
egy 4 polusu elektronikat iktatunk be, illesztett lezaraskent. 
Az elektronika dolga, hogy rovid impulzust adjon az egyik 
kapocsparra, majd amikor az erpar ezt elnyelte, galvanikusan 
folytonos gyuru-parra alakitsa a ket eret.
Vajon a gyuru mozgasba jon ettol ? 
Ha e kabelgyuru a tengelye iranyaban gyorsulna, billegne-e, vagy sem
a benne koszalo energia (tomeg) miatt ?
( Nem ertek hozza, de a Mach elven tiprodva felmerult ez,
  mellektermekkent.)

Udv: zoli

Laci:

> Arra gondoltam, hogy a klasszikus mehanikabol
> mi itt eddig a Newton fele mozgasegyenletekrol es a gravitacios erokrol
> beszeltunk, es ennek a determinizstikussagat vizsgaltuk.
>  A valosagban pedig ott vannak az egyeb kolcsonhatasok, pl
> az elektromagneses, ami sok egyeb mellett pl a surlodasos es egyeb
> irreverzibilis folyamatok okozoja, amit a modelben figyelmen kivul lehet
> hagyni, de a valosagban (es a kiserletben) jelen vannak.
Igy ertem. Hat ez igy igaz, viszont ezeknek a beepitese a newtoni
mechanikaba egy ideig nem okoz gondot. Kozepiskolaban peldaul tanultunk
surlodasi erorol meg ilyenekrol, azok nem tudom mennyire pontos modellek. Ha
pedig bevesszuk az elektromagnesesseget, akkor nem esz gond. Vagyis a
relativitas elvvel mar ott lesz.

> ** de leellenorizni le lehet. ahogy a modellt ertelmezzuk, ugy kell
> ** ertelmezni a kiserletet, es ossze lehet vetni.
>  Ebbol az jon ki, hogy a kl. mehanika kozelitoleg igaz. Termeszetesen.
azert az se semmi, nem?:)

math