Kedves z2!

>>Sajnos emiatt az ultrafilter definicoja hibas.
>A definicio akkor lenne "hibas", ha bizonyithato lenne, hogy nincs
>olyan halmaz(rendszer), ami kielegitene az ultrafilterrel szemben
>tamasztott kovetelmenyeket.

Igy van. Ultrafilter pedig akkor nem letezik, ha letezik olyan indexhalmaz,
amely nem elegiti ki a kovetelmenyeket. Pontosan ilyen ellenpeldat adtam.
Talan emlekezetbe idezem a leveledbol a hibas definiciot: "U ultrafilter: N
minden B reszhalmazara: B es N-B kozul az egyik, de csak az egyik, eleme
U-nak." Az ellenpeldaban vagy egyszerre elemek az indexhalmazok, es
komplemenseik, vagy egyszerre nem azok, es ennek kovetkezmenye, hogy
ultrafilter nem letezik.

>>Nem igaz tetszoleges T indexhalmazra, hogy ha T nem eleme U-nak,
>>akkor N-T eleme.
>Ez nem igaz, ugyanis ellentmond az ultrafilter egyik tulajdonsaganak:

Talan meg emlekszel ra, hogy jeleztem, a definicio hibas. Ezert a belole
kovetkezo tulajdonsagok hamisak. Ha T a paros szamok indexhalmaza, akkor
N-T a paratlan szamok indexhalmaza lesz. A ket indexhalmaz ekvivalens, es
nem teljesitheti az ulrafilter tulajdonsagait. Az en javasolt altarnativ
allitasom egy uj definicio lehtosegere utalt, amely kikuszobolhetne a
hibakat. Vagyis a hibak nem jelentik szuksegkeppen, hogy vesztett lenne az
ugy, csak uj alapozasra van szukseg.

>A multtal meg foglalkozzanak a torteneszek.

Lesulyto velemeny egy ertelmesnek tuno ember szajabol. Az ilyen kijelentes
joggal sorolhato Omar kalifa kijelentesenek soraba, aki az alexszandriai
konyvtar felegetese elott igy ervelt: A konyvek azon resze, amelyek
osszhangban vannak az irassal, foloslegesek, hiszen az irasban is
megtalalhatoak. A konyvek tobbi resze viszont azert egetendo el, miert
nincsenek osszhangban az irassal. Erdemes lenne eszrevenned, hogy csak a
multon keresztul valhat barmi is letezove. A semmibol semmi nem keletkezik.
Ez a matematikara is ervenyes. A torteneszek nem a maguk szamara kutatjak a
multat, hanem, hogy kozkinccse tegyek kutatasaik eredmenyet. Az ember ket
dologbol tanulhat: a sajat hibajabol, es a tortenelembol. Ez nem csupan egy
jolhangzo mondas, hanem egy mely ertelmu allitas.

Kedves Matyas!

>>"A formalizmus nem hajlando matematikanak tartani annak nagy reszet,
>>amit altalaban oda sorolnak, s a matematika fejlodeserol egy szot sem
>>tud szolni."
>Valoban, a formalis axiomatizmus nem alkalmas matematikatorteneti
>eszmefuttatasokra. az egy mas teszta, es nem errol beszelunk.

A matematika fejlodestortenete nem pusztan torteneszeti kerdes, hanem a
matematika metodikai, modszertani fejlodesenek elmelete, a matematikai
gondolkodas matematikailag korrekt megfogalmazasanak igenyevel. Ez nem
csupan resze a matematikanak, hanem a legfontosabbb resze. Aki ezekben a
kerdesekben hibas allitasokat tesz magaeva, annak ez a hiba az egesz
matematikai tevekenysegere ranyomja a belyeget.

>>"Newtonnak negy evszazadon at kellett varakoznia, mignem Peano, Russel
>>es Quine vegul besegitette a mennyorszagba, miutan sikerult
formalizalniuk
>>az analizist."
>es nem igy van ez rendjen? nem onnantol igazi matematika, amiota
>formalizaltak?

Nem. A matematika velem szuletik! :) De ugye Te sem gondolod komolyan?
Talan elkerulte a figyelmed, hogy a vilagtortenet egyik legnagyobb
matematikusarol beszelunk. Az igazi matematika formalizmussal szuleteserol
valo beszed nem mas, mint pokhendi ondicseret, szektas ontomjenezes, amely
meltatlan egy matematikushoz, es a feledes homalyaba merul a jovoben. Talan
igaza van z2-nek, hogy ez egy kicsit durva, de nem erdemtelen jellemzes.
Raadasul a formalizmus megalkotoi meg csak nem is tisztesegesek a
meghirdetett iranyvonalukban, hiszen ok a formalizmus megalkotasanak
folyamatarol, az ehhez szukseges sajat intuitiv kepessegeikrol nem tudnak
szamot adni, csupan a maguk gyartotta vegtermeket, mint a megtalalt
mennyorszagot ajanljak masok szamara a joisten szerepeben. Ha nem voltak
kepesek sajat istenseguk matematikajat korrekt modon megfogalmazni,
legalabb jelezniuk kellett volna, hogy hoppa, van itt meg valami, amit nem
tartalmaz az elmelet, nem pedig megtagadni az elodeiket, akiktol a
tudasukat szereztek. Persze ez csak egy intellektualis tisztesegtelenseg,
hiszen a sertettek halottak, es amelytol csupan a matemetika szenved, de
ennek azert vannak kihatasai a matematika fejlodesere.

Udv: Takacs Feri

>Üdv a társaságnak!
>
>Elnézést, hogy beleütöm az orromat olyasmibe, amihez
>nem értek, de szeretném megtudni:
>
>ugye a TUDOMÁNY-ban zajló vita a végtelen létráról és
>kúpról (+racionális-irrac. számok, etc.) alapjában
>véve arról szól, hogy Takács Feri szerint VÉGTELEN sok
>VÉGTELEN SZÁM létezik, míg az ellentábor szerint
>ilyen, hogy végtelen SZÁM nincs is?
>
>Köszönettel: András



Na vegre, valaki megkerdezte.....
Csatlakozom.
Ugyanis a hosszu pengevaltasokban szamomra is elveszett a vita lenyege, ami
valahol Zoli letraja korul indult.
En sajnos megragadtam az alef szamossagu (megszamlalhatoan vegtelen) egesz
es racionalis szamok halmazanal, valamint a 2 ad alef szamossagu
irracionalis szamoknal. Ezt kiegeszitettuk azzal, hogy nyilvan leteznek
ennel is nagyobb szamossagu halmazok.
Ha most lenne egy matematikus, aki harom-harom mondatban osszefoglalna, hogy
mit mond Takacs Feri, es mit a matematika, akkor mar legalabb ketten lennenk
halasak.

Janos

Szia taxi,

Jol irtad, a rajz a matematikai fogalmakat "prezentalja", szemlelteti, es
nem forditva. Egy rajz csak egy egyedi esetet tud szemleltetni. Egy
lerajzolt haromszog egy lerajzolt oldala, az csak egy haromszog egy oldalat
szemlelteti, mig ha szovegesen azt irom, hogy "vegyunk egy haromszoget, es
ennek egyik oldalat", ez tetszoleges haromszog tetszoleges oldalat jelenti.
Az absztrakt, teljessegre torekvo megfogalmazas meg nem formalizmus.

A rajz otleteket adhat matematikai fogalmak definialasara. A definiciot
viszont meg is kell tudni fogalmazni, meghozza pontosan, egyertelmuen. Pld.:
"a nemsztenderd szamkorbe beagyazott termeszetes szamok mindegyikenel
nagyobb nemsztenderd szamokat vegtelen nagynak nevezzuk". A pontos,
egyertelmu megfogalmazas meg nem formalizmus.

A jelolesek alkalmazasa hosszas szovegeleseket takarit meg, sokkal
egyszerubb azt leirni hogy "a^2 + b^2 = c^2", mint azt, hogy "egy
tetszoleges derekszogu haromszog befogoi fole emelt negyzetek terulete az
atfogo fole emelt negyzet teruletevel megegyezik". A jelolesek alkalmazasa
meg nem formalizmus.

A jeloleseket alkalmazo, pontos, egyertelmu, absztrakt, teljessegre torekvo
megfogalmazas/leiras ezek szerint meg nem formalizmus.

Akkor viszont mi a formalizmus ? Lehet hogy ugy beszelsz rola, hogy kozben
nem is tudod mirol beszelsz ?

> Vagy hogyan formalizalod a
> formalizmus fejlodeset, az axiomak magalkotasanak folyamatat? Vagy ez nem
> matamatika?

Amire te gondolsz, azt ugy hivjak hogy tudomany-tortenet. Es valoban nem
matematika, hanem csak a temaja a matematika. Akik meg muvelik, azok a
tudomany-torteneszek. Akik meg kritizaljak, azok jobb esetben a
tudomany-filozofusok, rosszabb esetben kivulallok, nem szakmabeliek, meg
rosszabb estben pedig a hozza nem ertok.


Apropo, hogy allsz a  -1 < 0 < 1 bizonyitasaval ? Math szerint ez a bizonyos
feladat egy "gyerekkonyv"-bol valo, szoval nagy eges lenne ha nem tudnad
megcsinalni.



z2

> véve arról szól, hogy Takács Feri szerint VÉGTELEN sok
> VÉGTELEN SZÁM létezik, míg az ellentábor szerint
> ilyen, hogy végtelen SZÁM nincs is?

Vannak olyan szamkorok, amikben ertelmesen definialhato a "vegtelen nagy
szam" fogalma. Ezekbol a "vegtelen nagy" szamokbol nincs legnagyobb, mivel
ezek a szamkorok is zartak az osszeadasra, szorzasra. Az is igaz, hogy
nincs legkisebb "vegtelen nagy" szam, a kivonas muveletenek zartsaga miatt.
Nem trivialis, hogy a "rakovetkezo" muveletre torteno zartsag miatt, van
"atjaras" a "veges" es a "vegtelen nagy" szamok kozott, tehat a {0, 1, 2, 3,
 ....., w-3, w-2, w-1, w } (w egy tetszoleges "vegtelen nagy egesz") halmaz
szamai kozott a szomszedok kozotti kulonbseg 1. Evolucios analogiaval elve:
letezik olyan utvonal az elolenyek csaladfajaban, ami egy majomtol Darwinig
vezet, es teljesul ra, hogy minden majom fia majom, valamint minden ember
apja ember :-)

Takacs Ur viszont nem erti meg, hogy se a valos se a termeszetes szamok kore
nem ilyen. Vegtelen nagy valos szam bizonyithatoan nincs. Valamit nem ert a
szamossagokkal kapcsolatban, ezert szerinte egy nem veges halmaz es a
hatvanyhalmazanak a szamossaga megegyezik. Cantor par soros ennek
ellentmondo bizonyitasa szerinte hibas, de rendesen megindokolni ezeket a
"forradalmi" nezeteit nem tudja.

Mivel a matematikai eredmenyek rendre ellentmondanak a sajat kitalacioinak,
ezert a matematikat hibasnak tartja. Kulonosen az axiomakat es a
formalizmust, mert ezekkel az eszkozokkel pillanatok alatt kiderulne meg a
sajat szamara is, hogy mennyire legbolkapottak az allitasai.


Nagyvonalakban ezekrol van szo.


z2

Sziasztok !

Bizonyos esetekben a vegtelen megtekintheto (kepzeletben).
Ilyen eset a perspektivikus abrazolas, avagy a vegtelen sikon allo
megfigyelo esete, aki a sik vegtelenjet egyenes horizontkent
eszleli.
Egy masik eset, ha tagulo kor kozeppontjabol a sikjara
merolegesen, a kor sugaraval mindig aranyos magassagokba emelkedve
figyeljuk a kort. A kor a tavolsagtol fuggetlenul, valtozatlanul
kornek latszik. Szerintem bonyodalmak nelkul elrugaszkodhatunk a vegtelenbe
is, es a latvany ugyanaz marad.
Es most jon a meglepetes: A vegtelenbol eszreveszunk a korben egy
oramutato-szeruen korbejaro szakaszt, mely - amennyiben gordulo
test ( s csak a messzesege miatt latszik szakasznak), akkor bizony
az nem lehet mas, mint - vegtelen kup !
Ha henger lenne, kigurulna a korbol.

Ez olyan szep, es kezzelfoghato, hogy ha axiomat sertene,
meg is erdemli az az axioma ! :)

Udv: zoli

Takacs Ferenc:

> A matematika es mas tudomanyok kapcsolata ket oldalu. Minden mas
> tudomanybeli matematikai leiras a matematika szamara is egy szemleletes
> igazolas. Ha nem az lenne, akkor mas tudomanyok sem igenyelnek a
> matematikat a maguk tudomanyossaganak igazolasara. Nagymertekben eppen ez
a
> ketoldalu kapcsolat a tudomanyossag kriteriuma mindket oldal szamara.
Ezek annyira naiv es tulegyszerusitett gondolatok. Nem gondolod, hogy jobban
meg kellene gondolnod, hogy mit filozofalgatsz, ha amator vagy e teruleten?
1) a matematika hasznalata egy masik tudomanyban nem igazolas a matematika
szamara. az eredmenyes hasznalat ugyanis a modell hasznalatat igazolja, a
matematikai igazsag viszont nem hasznalhatosagrol, hanem csupan logikai
konzisztenciarol szol. tehat egy matematikai modellnek hasznalat elott mar
igazoltan jo matematikai modellnek kell lennie, a hasznalat csupan arrol
erosit meg bennunket, hogy e mellett meg hasznalhato is.
2) a tapasztalati tudomanyok tudomanyossaganak igazolasa nem a matematika
hasznalataban rejlik. termeszetesen a matematika hasznalata rovid uton
hozzasegithet ehhez, de a tudomanyossag kriteriuma nem feltetlenul az, hogy
matematikai modellt alkalmazzon, es a matematikai modellnem tesz hozza
semmit egy tudomanyos elmelet tudomanyossagahoz. ha az nem tudomanyos, akkor
nem lesz tudomanyosabb azaltal, hogy matematikat hasznal. pelda: asztrologia
3) egyik oldal szamara sem a tudomanyossag kriteriuma tehat a kapcsolat, a
kapcsolatnak elofeltetele a tudomanyossag

> |\
> | \
> |  \
> +---\
> |    \
> |     \
> -------\
>
> Ez itt ket hasonlo derekszogu haromszog, amelyen szemleletesen lehet
> bemutatni a hasonloságot, a parhuzamos szelok tetelet, a szogfuggvenyek
> ertelmezeset, es meg seregnyi matamatikai fogalmat, tetelt es azonossagot.
> Hogyan tudnad ezt a szemleletes prezentaciot formalizalni ugy, hogy
> megmaradjon az egyszerusege, es szemleletessege? Vagy azt akarod allitani,
> hogy amit felrajzoltam, az nem letezik? Vagy azt hiszed, hogy a rajz
> alapjan definialhato matematikai fogalmak hamisak? Vagy talan azt
gondolod,
> hogy ennek nehezen kovetheto formalis leirasa helyettesiteni tudja ezt a
> szemleletesseget? Felejtsd el. Ez a szemleletesseg semmivel nem
> helyettesitheto, es csak az a formalizmus helyes, amelyben az effele
> szemleletesseg ellentmondasmentesen levezetheto. Lehetnek, es vannak is a
> matematikanak olyan kiterjesztesei, amelyben ezek a peldak mar nem
> mukodnek, peldaul a nem euklideszi geometria, de ezek csupan
kiterjesztesei
> a matematikanak, es semmikeppen sem az altarnativai, vagy helyettesitoi.
De
> ezeknek a kiterjeszteseknek is gyakran leteznek szemleletes abrazolasai,
> peldaul a nemeuklideszi geometrianak a terido. Vagy hogyan formalizalod a
> formalizmus fejlodeset, az axiomak magalkotasanak folyamatat? Vagy ez nem
> matamatika?
1) a szemleltetes abbol all, hogy peldakat rajzolsz fel. ezek a peldak
onmagukban, formalizmus nelkul nem egyertelmuek. legfeljebb az allithato,
hogy tarsadalmi konvenciok altal van egy bizonyos magatol ertetodo
jelentesuk. viszont, ha nem ismerem ezt a konszenzust, vagy szandekosan nem
fogadom el, akkor a szemleltetesed abszolut semmit nem mond nekem, vagy
teljesen mast mond.
2) bizonyos kritikus helyzetben a szemleltetes nem egyertelmusege teljesen
zavaro lehet. akar ugy, hogy olyan intuiciot suggal, ami hibas, akar ugy,
hogy a szemleltetett dolgot en egeszenmashogy erttem, mint te. ha tehat
velemenykulonbseg van kozottunk, akkor sokszor szemleletbeli kulonbseg is
van kozottunk. ezt az ellentetet semmifele szemleltetessel nem tudod
athidalni,mert en bizony nem azt fogom latni az abradban, amit te akarsz
latni
3) az abrakat lehetseges ugy is hasznalni, hogy az egyertelmu legyen.
peldaul a geometriai abrak, fuggvenyek grafikonjanak stb. hasznalata eleg
egyertelmu. viszont eszre kell venni, hogy ez pont azert van, mert
formalizmus rejlik benne, es a formalizmus hozza letre az egyertelmuseget. a
formalizmus nem csak irasjeleken, hanem abrakonis alapulhat. egy nyelv nem
csak irasjeleken, hanem abrakonis alapulhat. ha nincs formalizmus, nincs
egyertelmuseg, ha van, akkor lehet remeny arra, hogy az abraval olyat
mondjal nekem, amit en ertek, ugyanugy ertek, es igazolo ereje legyen
4) szabadon hasznalhatsz irasjeleket, abrakat, hangokat vagy mittudomenmit a
nyelvben, a formalizmusban. erdemes olyan mediumot hasznalni, ami
pszichologiailag konnyen felfoghato. ezert a geometriai peldakat nyilvan az
abrakneyleven erdemes elmondani, de el lehet mondani irasjelekkel is, csak
az nehezebben ertheto,nagyobb megterheles az agynak. tehat a szemleletetes
ereje nem abban rejlik, hogy nem formalis, hanem abban, hogy megfelelo
formaju.

konkluzio: ha egy abra nem formalis, akkor nem egyertelmu, ha viszont
formalis, akkor egyertelmu, es egyben konnyen ertelmezhetolehet. tehat nem
az intuicionista szemleltetes, hanem a formalis, de megfelelo modone loadott
szemleltetes a helyes cel.

> Ez csupan egy koros pszihologiai allapot leirasa, amelybol eppen az
> kovetkezik, hogy a formalizmus csupan egy potszer a tokeletlenseg
> elfedesere.
a formalizmus az egyetlenismert szer az egyertelmuseg eleresere, a
matematikaban az egyertelmuseg elengedhetetlen. ugymond a tokeletesseg
legfobb szempontja.

math