Kedves Balazs (es Kalman) !

>>Az viszont nyilvanvalo, hogy az altalad megnevezett tetszolegesen nagy
>>letra csak veges, igy a feladatban emlitett vegtelen letrat nem talalod
>>meg a letrasorozatban.
>Mint mondtam, azert nincs benne, mert nincs vegtelen letra. Pl. ha a letra
>moge beteszunk egy masik falat, melyik falhoz tamaszkodik a letra? Mi
>kulonbozteti meg az egyik ill. a masik falhoz tamaszkodo letrat? Csakis
>tetszolegesen hosszu letrakrol beszelhetunk, ha mar ragaszkodunk
>ehhez a pongyola szohasznalathoz.

Ez nem pongyola szohasznalat, hanem egy pontosan definialt geometriai
modell objektumanak megnevezese. Nincs semmi akadalya, hogy egy tetszoleges
helyzetu szamegyenest (pontosabban felegyenest) nevezzuk vegtelen letranak,
az egesz koordinatakban levo letrafokokkal. Sot pontosan ezt jelenti, es
ebben az ertelemben hasznaltuk a vegtelen letra fogalmat. Idonkent valoban
pongyola modon hallgatolagosan elhanyagoltuk a letra szelessegbeli
kiterjedeseit, de ez a tobblet dimenzio nem erinti a vizsgalodasainkat. Es
akkor ujfent megkerdezhetem, hogy mi a helyzet a vegtelen letraval? Miert
is ne letezne? Talan nem letezik neki megfelelo vegtelen szamegyenes? Nem,
szo sincs semmifele lehetetlensegrol, csupan az elvi modell alkotasa, vagy
elkepzelese esik nehezedre. Ami a kerdesedet illeti. A ket kulonbozo falhoz
tamaszkodo letrat a veges kordinatakban semmi nem kulonbozteti meg, mivel
azok csak a vegtelenben kulonboznek. Ettol a vegtelenben levo
kulonbozosegtol termeszetesen kulonbozni fognak a letrak vetuletei az
alapra, ami azt is jelenti, hogy csak veges geometriai alakzatoknak van
egyertelmu vetulete. A vegtelen alakzatok tekinteteben a modell felepitesi
modjaval kapcsolatos elozetes elkepzeleseink befolyasoljak a vegtelen
alakzatok veges vetuleteit.

>>Megint az a
>>kerdes, hogy ha elkezded elvenni a racionalis szamokat a [0,1]
>>intervallumbol, akkor azt meddig kell csinalni, es marad-e egyaltalan
>>valami utanuk.
>Ha nem maradna semmi, az azt jelentene, hogy minden szam racionalis.
>>tehat [0,1]\Q ures halmaz.
>Itt azt irtad le, hogy [0,1] reszhalmaza Q-nak, vagyis minden szam
>racionalis.

Ugy latszik nem figyeltel elegge, es Kalman pontosan ugyanitt vesztette el
a fonalat, igy ezeket a sorokat neki is cimzem. A fenti sorokkal egyutt a
valos intervallum formalis definicioja is szerepelt, ami egyertelmu
magyarazata a fenti soraimnak.
lim[ n -> inf ] Hn = [0,1]
Tehat a hatarertekkepzes nem hagyhato el, ha az osszes racionalis szamra
hivatkozunk. Persze lehet, hogy a racionalis szamok definiciojaval vagytok
hadilabon, ezert foglaljuk ossze ujbol az erre vonatkozo formalitasokat.

(1) Legyen Hn a [0,1] intervallum adott racionalis felbontasa.
Hn = { 0/n, 1/n ,..., (n-1)/n, n/n }
A felbontas egy racionalis szamokbol allo halmaz, amelynek n+1 eleme van,
es amely elemek egy ekvidisztans pontsorozatot alkotnak. A szomszedos
pontok tavolsaga 1/n. Azert beszelhetunk tavolsagrol, mert az elemek
racionalis szamok testebol valok, es amelyen ertelmezve van egy termeszetes
metrika: ket szam kulonbsegenek abszolut erteke.

(2) Legyen Qn az elso n felbontas halmazanak unioja.
Qn = Unio[i=1,..n] Hi
Ez a halmaz az osszes olyan [0,1] intervallumba eso racionalis szamot
tartalmazza, amely az adott n felbontasig bezarolag szerepelt valamely
felbontasban.

(3) Tekintsuk a Qn felbontasok sorozatat.
Q[0,1] = { Q1, Q2, Q3 ,..., Qn ,.... }
Ez a sorozat minden racionalis szamot tartalmaz a [0,1] intervallumban,
ezert a jeloleseben a racionalis szamok jelolese szerepel, es indexben
jelzem az intervallumot. Nagyon fontos eszrevenni, hogy amig az elozo ket
definicioban halmazokat definialtunk, addig itt nem halmazt definialunk,
hanem egy sorozatot, halmazok sorozatat. A sorozat barmely tagja egy
racionalis szamokbol allo halmaz, de nincs olyan halmaz, amely minden
racionalis szamot tartalmazna. Minnel nagyobb a sorozat tagjanak az indexe,
annal nagyobb szamossagu reszhalmaza all elo a racionalis szamoknak, de
nincs maximalis index, mint ahogyan legnagyobb termeszetes szam sincs. A
sorozatot megszamlalhatoan vegtelennek mondjuk.

(4) Vegyuk a Qn sorozat hatarerteket, hogy megkapjuk az osszes racionalis
szamot tartalmazo halmazt.
lim[ n -> inf ] Qn = lim[ n -> inf ] Hn = [0,1]
A hatarertekkepzes eredmenye keppen nem csak az osszes racionalis szam,
hanem az irracionalis szamok is eloallnak, tehat a teljes valos
intervallumot eloallitottuk. A halmaz szamossaga megszamlalhatatlan
vegtelen.

(5) A (3) definicio altal barmely racionalis szam eloallithato a [0,1]
intervallumban, de nem all elo minden intervallumbeli racionalis szam
hallmaza. Ugyanis az osszes racionalis szam halmaza (4) szerint egyben az
irracionalis szamokat is tartalmazza. Ezert a (3) beli racionalis szamok
vegtelensegig surusodo reszhalmazainak sorozatat fogalmilag meg kell
kulonboztetni a (4) beli osszes racionalis szam halmazatol. Erre a
megkulonboztetesre a jelenlegi axiomatika nem kepes, tehat az szuksegkeppen
hianyos, hibas. Gondolom mindkettotok szamara vilagos, hogy itt nem a
racionalisok, vagy irracionalisok letezeserol, vagy azonossagarol
beszeltem.

(6) Az elozo pontokban a raconalis szamok sorozatara, es annak
hatarertekerol beszeltem, de az (5) pontban jelzett uj matematikai
tulajdonsag mar a sorozat indexhalmazaban, a termeszetes szamoknal is
megjelenik. A racionalisok csak atoroklik ezt a tulajdonsagot, bar a
racionalisoknal ez a tulajdonsag jobban vizsgalhato. De a termeszetes
szamok eseteben ugyanilyen fontos megkulonboztetni a termeszetes szamok
nyilt sorozatanak fogalmat
Nn ={ 1, 2, 3 ,..., n }
N = { N1, N2, N3 ,..., Nn ,... }
az osszes termeszetes szamnak vegtelen szamokkal kiterjesztett zart
halmazanak fogalmatol.
XN = lim[ n->inf ] Nn
Itt Nn a termeszetes szamok kezdo szeleteinek halmazai. Termeszetesen a
termeszetes szamok eme tulajdonsaga minden vegtelen sorozatra vonatkozo
tulajdonsag is, es altalaban veve elmondhato, hogy a vegtelen fogalmanak a
korabbiaknal arnyaltabb megkozelitesevel allunk szemben.

>>>bizonyitsd be.
>>Csak ismetelhetem magam.
>En itt arra gondoltam, hogy precizen fogod bizonyitani, vagyis
>megadod a kert d metrikat.

Eloszor megzavartal ezzel a metrika keresessel, mivel olyan aspektusaval
kezdtel foglalkozni a hatarertekkepzesnek, amely ugyan fontos resze annak,
de amellyel nem igen talalkozunk a tankonyvekben kulonfele sorozatok
definialasa soran, ugyanis tulsagosan is kezenfekvoek, illetve trivialisak
a valaszok. Ha a sorozat tagjai racionalis szamok, akkor a szamok nagysaga
jelenti azt a merteket, amely szerint a sorozat konvergalhat, vagy
divergalhat, vagy egyaltalaban viselkedhet valahogy. Ezen mertek szerint
vizsgalhatjuk a sorozat konvergenciajat, es eppen azert van szukseg a
mertekre, hogy kepesek legyunk vizsgalni a konvergenciat. Ez valoban fontos
kriteriuma a hatarertekkepzesnek, de a szamokbol alkotott sorozatoknal ez a
mertek termeszetesen adott a szamok nagysaga altal. Ha halmazok sorozataval
allunk szemben, akkor ugyanilyen fontos tisztazni, hogy a halmaz elemei
merhetoek-e. Mivel a fenti halmazaink, es halmazsorozataink elemei
racionalis szamok, ezert ezeknek pontosan ugyanaz merteke, mint a
racionalis szamoknak. A felbontasok hatarertekenel az intervallum minden
egyes valos pontjahoz letezik konvergalo racionalis sorozat, tehat a
konvergencia felteteleinek pontonkent kell teljesulnie a racionalis
sorozatok konvergenciajanak megfelelo feltetelek szerint. Ebbol a
pontonkenti konvergenciabol logikailag kovetkezik a halmazsorozatra
vonatkozo teljes intervallumbeli konvergencia.

Az effele okoskodas egyaltalaban nem ujdonsag, hiszen felbontasok
sorozataival mar a gorogoknel is talalkozhatunk (pl. Zenon, vagy sqrt(2)
irracionalitasanak grafikus bizonyitasa), de kesobb teljesen altalanossa
valt. Emlithetem peldanak a Cantor halmazt, amelyben a [0,1] intervallum
kozepso nyilt egyharmadat elhagyjuk, majd a maradek zart halmazokkal
tesszuk ugyanezt, vegtelenszer. Termeszetesen itt is hatarerteket kepzunk,
es a maradek halmaz merteke nulla lesz, hiszen hatarertekben minden
merhetot elveszunk belole. Masik pedanak a Peano-gorbeket emlitem, ahol az
egysegnegyzetet bontjuk fel egymas utani negyedelesek vegtelen sorozataval,
es itt is ertelmezzuk a felbontas hatarerteket, mint az egysegnegyzet
minden pontjat lefedo vegtelen hosszu gorbe.

Ezt a peldat azert is emlitem, mert a vegtelen letrank arnyeka megtalalhato
a Peano-gorbeben. Ugyanis a Peano-gorbeben minden negyedelesnel ujabb
osztasvonalak keletkeznek, amelyeket a Peano-gorbe mindig merolegesen
metsz, fuggetlenul attol, hogy az osztasvonal vizszintes, vagy fuggoleges.
Az ujabb osztasoknal az osztasvonalak is, es a Peano-gorbevel valo
meroleges metszesek szama is megketszerezodik az uj osztasvonalakban. Az
osztasvonalak mas modon nem talalkoznak a Peano gorbevel, tehat az
osztasvonalak sorozta pontosan megfelel a vegtelen letra letrehozasanal
hasznalt racionalis osztasok sorozatanak, pontosabban a sorozat ketto
hatvanyaira valo szukitesenek. A Peano-gorbe hatarerteke az egysegnegyzet,
amelyben az osztasvonalaknak legfeljebb folytonos szakaszok feleltethetok
meg, mint ahogyan a vegtelen letra arnyeka is folytonos.

>>Eppenseggel a halmaz szamossaga is mertek, a szomszedos elemek
>>tavolsaga is mertek, de nem tudom, ezzel ki vagy-e segitve
>Ki lennek segitve, ha megadnad a szomszedos elemek tavolsagat
>(vagyis a Hn es a Hn+1 tavolsagat), ugy hogy az tenyleg tavolsag legyen.

En itt a Hn felbontas szomszedos elemeinek 1/n tavolsagat szandekoztam
emliteni a felbontas mertekeul, de termeszetesen ugyanez felhasznalhato a
halmaz sorozat mertekeul is tetszoleges felbontasokra is.
Tehat d(Hn,Hm) = |1/n-1/m| .

>>Ez az aprosag sajnos felboritja a matematikai alapokat, es egy teljesen
>>atdolgozott axiomatikat igenyel.
>A matematikai alapokat nem lehet felboritani, csak ugy, hogy
>bebizonyitod az axiomarendszerrol, hogy ellentmondasos. Ezt pedig
>csak ugy lehet, ha felhasznalod az axiomakat.

Van meg egy lehetoseg. Ha az axiomakbol nem vezetheto le egy egyebkent
nyilvanvaloan igaz matematikai tulajdonsag ( (5) es (6) ), akkor az axioma
rendszer rossz, mivel keptelen tukrozni matematikai szemleletunket.

>Ehelyett ugy latom, sajat axiomarendszert
>alkotsz, ami nem feltetlenul haszontalan (legalabbis nem jobban mint
>barmelyik masik axiomarendszer), de ezzel nem borithatsz fel semmit.

Eppen eleg, ha megrendul az emberek hite a regi axiomarendszer
hasznalhatosagaban. Velemenyem szerint ez egy tokeletes borulas, amelytol
nemcsak en fogok uj axiomarendszerre vagyni, hanem mindenki, aki megerti a
gondolataimat.

Udv: Takacs Feri

Kedves Listatagok!

Eddig direkt lassan csepegtettem mondandomat, varva a 
reakciokat.

Az en allaspontom a kovetkezo:

A kvantummechanika a MAGA modjan determinisztikus.
Ez a mod pedig az, hogy a Schrodinger egyenlet az 
allapot (vagy ha tetszik hullamfuggveny) idofejlodeset ugy 
hatarozza meg, hogy ha ismert a rendszer es a kiindulasi 
allapot/fuggveny, akkor t ido mulva elvileg kiszamolhato.

Ez a determinisztikus viselkedes pusztan az altalam mar 
citalt Ehrenfest-tetelen keresztul jelenik meg a klasszikus 
mechanikaban.

Lehetne a klassz. mech. determinisztikus, ha
a mogotte meghuzodo qm.-i allapot nem igy viselkedne?

Akarmilyen nagy szorassal is merunk egy fiz. mennyiseget, 
maga a qm.-i varhato ertek koveti a klasszikus 
egyeneleteket, legfeljebb ezt a szoras miatt bizonyos szint 
alatt nehez kimerni.

Annak, amit a vitaban masok statisztikus determinizmusnak 
hivnak, meg inkabb orulni kene: Ha merunk - ami matek 
szinten azt jelenti, hogy egy egesz (allapot)fuggvenyt vagy 
(allapot)vektort kerunk meg arra (=adunk ala egy 
fuggvenyoperatort vagy egy matrixot), hogy "mondjon" 
EGYETLEN szamot-, akkor adott fiz. menny. meresenel a kapott 
sajatertekek statisztikajabol vegul is kozeltoleg 
kirajzolodik egy tetszoleges allapot .
Mire jutnank, ha mindig ugyanazt a sajaterteket kapnank, ha 
meg lenne hatarozva, hogy mindig pl. a legkisebb/legnagyobb 
sajaterteket kapjuk eredmenyul? En inkabb a hatarozatlan 
eredmenyre voksolok, hogy nem tudom, melyik sajatallapotban 
kot ki a rendszer a meresben. Igy tobb infot szerzek rola.

Remelem atjott a szovegen, amit erzekeltetni akartam.
Varom a hozzaszolasokat.

Udv, dmp

Sipi,

>Errol jut eszembe:
>Idealis pontszeru 'golyo' adott szogben beerkezve idealis sarokbol milyen
>szogben pattan vissza?


Ha idealis golyot akarsz, es idealis sarkot, akkor a visszapattanas is olyan
lesz, amit akarsz.
Lehet olyan, hogy ugyanazon a palyan menjen vissza, ezzel lenyegeben analog
az irnyvaltoztatas nelkuli tovabbhaladas esete. Elteritheted pld. 90 fokkal.
Ahogy tetszik.
Lehetnek persze esszerusegi megfontolasok. Pld. a vegtelen pici golyo es
idealis sarok adodjon veges golyo es lekerekitett sarok hatarertekekent.
Ekkor az elso visszapattanasi forma latszik jobbnak.

Janos

Megprobalom meg egyszer, hatha most jobban sikerul:

( "{a_n}": egy valos szamsorozat, "/\": a metszet, "<_": reszhalmaz, "P(N)":
a pozitiv egesz szamok halmazanak hatvanyhalmaza )

Szuksegunk lesz egy a valos szamsorozatokon ertelmezett "==" ekvivalencia
relaciora:

Legyen {a_n} == {b_n}, akkor es csak akkor, ha az {a_n} es a {b_n} valos
szamsorozatok tagjaira {i: a_i = b_i} <_ U <_ P(N) (megfeleloen sok index
eseten egyformak)

Az U halmaz rendszer megvalasztasara felteteleket fogunk adni:

Jeloljuk M_a_b -vel az {a_n}, {b_n} sorozatok azon indexeinek halmazat, ahol
a ket sorozat tagjai megyegyeznek: M_a_b := {i: a_i = b_i }

M_a_b nem lehet az ures halmaz, mert ekkor barmely ket valos sorozat
ekvivalens lenne:

(1) az ures halmaz nem eleme U-nak

{a_n}=={b_n} es nem({a_n}=={b_n}) kozul pontosan az egyiknek kell
teljesulnie:

(2) A <_ N, A es N-A kozul pontosan az egyik eleme U-nak.

Az "==" relacio U-tol fuggetlenul reflexiv es szimmetrikus. Tranzitiv, ha
{a_n} == {b_n}, {b_n} == {c_n} eseten M_a_b /\ M_b_c <_ M_a_c , vagyis:

(3) A,B <_ U eseten A /\ B <_ U

Ha egy A halmaz megfeleloen sok indexet tartalmaz, akkor az osszes bovebb
halmaz is megfelelo kell legyen:

(4) A <_ B <_ P(N), A <_ U, eseten B <_ U

Az (1)-(4) feltetelek egyuttesen az N feletti ultra-szuro -t hatarozzak meg,
amirol lehet tudni hogy letezik.

Az "==" tehat ekvivalencia relacio, ha U egy N feletti ultra-filter.

--------

Mostmar definialhatjuk az 'R nem-sztenderd valos szamokat, mint az {a_n}
valos szamsorozatok "==" szerinti [a_n] ekvivalencia osztalyainak halmazat.

Egy x valos szamnak feleltessuk meg a [{x,x,x,...}] konstans-sorozat
ekvivalencia osztalyat.

Definialjuk az R feletti r relaciokat 'R elemein a kovetkezokeppen:

(a_i <_ 'R, a_i_j az a_i ekvivalencia osztalyaba eso egyik valos szamsorozat
j-edik eleme)

'r( a_1, a_2, ..., a_n ), akkor es csak akkor, ha {j: r(a_1_j, a_2_j, ...,
a_n_j)} <_ U

Specialisan:

[a_n] '= [b_n], akkor es csak akkor, ha {j: a_j = b_j} <_ U
[a_n] '< [b_n], akkor es csak akkor, ha {j: a_j < b_j} <_ U

---------

A valos szamokon definialhato relaciok, fuggvenyek, sorozatok, logikai
formulak, tetelek automatikusan kiterjednek 'R-re. Bizonyos korlatozasok
betartasaval az 'R-ben bizonyithato tetelek automatikusan igazak lesznek
R-ben is.

Lenyeges elteres, hogy 'R-ben "realizalodnak a konkurens formulahalmazok".

Peldaul:

letezik x, y (x<1/1 es y>1)
letezik x, y (x<1/2 es y>2)
letezik x, y (x<1/3 es y>3)
 ....

Folytatva az osszes n <_ N -re, egy nem veges formulahalmazt kapunk, aminek
barmely veges reszhalmazahoz talalunk olyan x,y R-beli szamokat, amire a
kivalasztott formulak igazak, de nem talalunk olyan x,y -t amire a teljes
formulahalmaz egyszerre igaz lenne. 'R-ben viszont leteznek ilyen elemek is,
pld.:

x = [1/n] vegtelen kicsinek,
y = [n]   pedig vegtelen nagynak nevezheto.

Megszamlalhatoan sok vegtelen kis szam osszege vegtelenul kicsi.
Vegtelenul kicsi(nagy) szam reciproka vegtelenul nagy(kicsi).
A nullaval osztas nem ertelmezett.

A "termeszetes szamnak lenni" relacio szinten kiterjed 'R-ben, igy letezik
'N, vegtelen nagy termeszetes szamokat ([n], [2n], [n*n], stb) is tartalmazo
halmaz. A vegtelen nagy termeszetes szamokra igaz a termeszetes szamokra
igaz osszes tetel, igy peldaul a vegtelen nagy termeszetes szamok is
felirhatok (vegtelen nagy) primszamok szorzatakent.

Csak a nullanak nincs megelozoje N-ben, ez 'N-ben is igaz, igy nincs
legkisebb vegtelen termeszetes szam.

A "minden A<_N halmaznak van legkisebb eleme" tetel is igaz 'N-re: "minden
'A<_'N halmaznak van legkisebb eleme". Ez a pelda jol mutatja, hogy nem
minden 'R-beli halmazra vonatkozo tetel igaz automatikusan R-ben, hiszen az
allitas nyilvan nem igaz a vegtelen termeszetes szamok halmazan.



z2

Anno volt egy matekpelda, de sajnos elfelejtettem a megoldasat: "Tegnapelott 18
 voltam, jovore 21 leszek. Mikor mondta ezt valaki?" Tud valaki segiteni???

Koszi!
Zsozso

(webes bekuldes, a bekuldo gepe: std107-nzam.telecom.sk)